Гроб номер 8

В продолжение поста о списке гробов от Тани Ховановой.

Задача номер 8. Дан равносторонний треугольник ABC и точка O внутри него с углами x=BOC, y=AOC. Выразите через x,y углы треугольника со сторонами равными AO, BO, CO.

Попытка посчитать тригонометрически хорошо не кончается (по крайней мере, ничего сходу не видно). Отчасти, потому как углы x и y не содержатся в каком-то одном треугольнике. Так что попробуем геометрически.

Во-первых, полезно (и недолго) попробовать угадать ответ. Скорее всего (раз спрашивают), получатся простые функция от x,y и z=AOB=360-x-y (с подходящими симметриями и суммой 180), но вариантов много -- например, x/2,y/2, z/2, или 180-x,180-y,180-z, и т.д. Если есть циркуль, линейка и транспортир, можно построить пример и измерить, но и это не обязательно. Возьмем О на середине AB, тогда x=y=90, z=180, AO=OB=OC/√3, и углы получатся 30,30,120. Напрашивается догадка, что ответ будет x-60,y-60,z-60. Более того, если О очень близка к C, AO примерно равен BO, а CO мал, и поэтому один угол будет очень мал -- кандидат в z-60, т.к. z чуть больше 60. Так что ответ мы, скорее всего, знаем.

Теперь попробуем что-нибудь построить. В идеале хотелось бы сделать пару доп построений, где вылезет треугольник со сторонами длин АО, BO, CO (или подобный). Напрашивается замостить плоскость равносторонними треугольниками (или взять только один-два треугольника A'B'C' в дополнение к ABC) отметить в них такие же точки О' с АО=A'O', BO=B'O', CO=C'O' и постараться получить там треугольник с нужными длинами. Отразить ABC через сторону АC не помогает, зато если мы повернем ABC вокруг B на 60 градусов, т.е. B'=B, A'=C, C' симметрична А относительно BC, то все срабатывает с треугольником COO' -- CO'=AO, OO' -- основание равнобедренного треугольника со сторонами BO=BO' и углом между ними 60 градусов, а, значит, ОО'=BO. Угол OBO' считается из построения и таки выходит z-60. Остальные находятся таким же построением с поворотом в других вершинах.

Это же решение дается у Ховановой. Когда я подбирал, как крутить треугольник, то использовал то, что уже угадал ответ. Это немножко помогает, но некритично.

Забавно, но есть и другое решение, даже более концептуальное. По крайней мере, там сразу понятно откуда ноги растут поворот на 60 градусов. Допустим, что нам дали длины АО, BO, CO и просят построить равносторонний треугольник ABC с точкой О, чтобы длины были как требуется. Из первого решения мы знаем, что можно построить треугольник с такими длинами, оттуда найти углы x,y,z и дальше очевидно, а нельзя ли как-то еще? Оказывается, можно и в лоб. Фиксируем О и рисуем окружности a,b,c данных радиусов. Нам надо найти точки A,B,C на них, чтобы ABC был равносторонним. По круговой симметрии А возьмем любую. Осталось найти B,C чтобы AB=BC и угол между ними 60 градусов. Для этого повернем окружность c относительно A на 60 градусов, получив окружность c', и найдем пересечениe C окружностей b и c'. Нарисовав подходящую картинку, мы получим картинку из первого решения, только на этот раз все совсем напрашивалось (после того, как мы догадались спросить, как построить ABC, по длинам AO,BO,CO).

P.S. Домашнее задание. Задача номер 9. Даны пересекающиеся прямые l,m. Найдите все точки на плоскости сумма растояний которых до l и m равна данному числу х.